| Отель Гильберта абсурден. Но если бы актуальная бесконечность была метафизически возможна, то и такой отель мог бы быть метафизически возможен. Из этого следует, что существование актуальной бесконечности метафизически невозможно. Сторонники актуальной бесконечности могли бы признать абсурдность Отеля Гильберта, но считать, что этот случай, так или иначе, особый и, следовательно, его метафизическая невозможность не служит основанием для вывода, что актуальная бесконечность невозможна. Ответ такого рода мог бы показаться уместным относительно некоторых нелепостей, связанных с актуальными бесконечностями; например, тех, что предполагают завершение так называемой сверхзадачи – последовательного выполнения актуально бесконечного количества определенных и дискретных операций за конечное время. Но когда доходит до ситуаций, связанных с одновременным существованием актуально бесконечного количества привычных макроскопических объектов, тогда ответ такого рода кажется менее правдоподобным 47 . Если бы могло существовать (счетное) актуально бесконечное количество вещей, их можно было бы пересчитывать и ими манипулировать прямо как постояльцами в Отеле Гильберта. Поскольку от того, что иллюстрацией служит отель, ничего не зависит, метафизическая абсурдность, вероятно, относится к существованию актуальной бесконечности. Таким образом, мысленные эксперименты этого рода показывают, в общем, что существование в действительности актуально бесконечного количества вещей невозможно. На этой стадии стороннику актуальной бесконечности ничего не остается, как, по словам Оппи, просто «принять заключение, высказанного оппонентом доказательства от противного» (Орру 2006а, р. 48). Оппи объясняет: «Эти якобы абсурдные ситуации представляют собой именно то, чего следует ожидать, если бы существовали... физические бесконечности» (Орру 2006а, р. 48). Однако, ответ Оппи оказывается недостаточным: он ничем не доказывает, что воображаемые ситуации не абсурдны, а только служит для того, чтобы, фактически, снова и снова повторять, что, если бы актуальная бесконечность могла существовать в действительности, то мог бы существовать Отель Гильберта, а это не вызывает споров. В конце концов, проблемные случаи не создавали бы трудностей, если бы не влекли за собой предполагаемые последствия! Скорее вопрос в том, действительно ли абсурдны эти последствия. |
| 1160 г. не появилась Magna glosatura Петра Ломбардского. Между тем история формирования глосс на Псалтирь и Послания ап. Павла намного сложнее. Гильберт Порретанский начал составлять глоссы на псалмы еще при жизни Ансельма Ланского, его труд был не просто переработкой и дополнением глосс Ансельма, а компиляцией, текстуально не зависящей от коллекции последнего. В то время как Ансельм Ланский цитировал источники (блж. Августина и Кассиодора) дословно, Гильберт приводил толкования в парафразе; его труд является не столько глоссами, сколько комментарием, близким по структуре к «Эпитоме» Прокопия Газского. Кроме того, Гильберт не мог использовать глоссы Ансельма, т. к. в то время (10-е гг. XII в.) Parva glosatura еще не существовала в форме, к-рую она приобрела в сер. XII в. ( Gross-Diaz Th. The Psalms Commentary of Gilbert of Poitiers: From lectio divina to the Lecture Room. Leiden etc., 1996. P. 32). Этим именем обозначается 2-я редакция глосс Ансельма Ланского, возникшая в результате того, что либо сам Гильберт, либо кто-то другой дополнил коллекцию Ансельма частями комментария Гильберта. Скорее всего Ансельм написал сначала компилятивный комментарий на псалмы, схожий с сочинениями Рабана Мавра, а затем на его основе составил 1-ю редакцию глосс ( Wilmart. 1936). Т. о., хотя коллекцию Гильберта называют Media glosatura, это не означает, что она составлена позже Parva glosatura. Обе коллекции появились приблизительно в одно время и распространялись независимо друг от друга как 2 равноценных сочинения. Петр Ломбардский в начале своей лит. деятельности взялся за составление комментария на псалмы и Послания ап. Павла, используя глоссы в качестве источника и включая часть из них в свой труд. Получившиеся в результате глоссы на псалмы обычно называют комментарием (Commenmarius), а глоссы на Послания ап. Павла - сборником толкований (Collectanea). Петр составлял их для собственных нужд, в качестве учебного пособия, однако после его смерти глоссы имели хождение как авторитетные сборники толкований - Magna glosatura. |
| Следуя терминологии Боэция, 1-й элемент Гильберт называл subsistens (субсистирующее), 2-й - subsistentia (субсистенция). Согласно Гильберту, бытие всякого сущего определяется не только тем, чем именно является это сущее, но и всей совокупностью факторов, влияющих на его конкретное существование, к-рые и придают этому существованию единство и своеобразие. По мнению Гильберта, всякая вещь (id quod est) единична, поскольку она сформирована уникальным сочетанием задающих ее факторов (id quo est). При этом каждое id quo est также единично, так что в результате множественность единичных субсистенций, соединенных одним субсистентом, превращается в единую вещь (см.: Nielsen. Theology and Philosophy in the 12th Century. P. 59). Именно такая вещь, т. е. неповторимое единство id qoud est и id quo est является И. При этом уникальность сочетания id quo est отличает одного И. от другого: «Платон от Цицерона отличается тем, что ни один из них не есть [именно такой] благодаря тому, благодаря чему [именно таким] является другой, да и вообще нет ничего такого, что было бы [именно таким] благодаря тому, благодаря чему [именно таким] является любой из них» ( Gilbertus Porretae. Commentaria in Librum De Trinitate//PL. 64. Col. 1295). Как и Боэций, Гильберт отмечал, что в формальном смысле понятия «индивид» и «личность» совпадают, так что все И. суть личности. Однако, также следуя Боэцию, он замечал, что термин «личность» в философском языке используется преимущественно по отношению к разумным существам, и одобрял такое сужение понятия. В целом определенного и строгого решения этого вопроса Гильберт не предложил: он соглашался с тем, что формально можно называть личностью животное или дерево (см.: Ibidem), хотя замечал, что философское понятие «личность» применимо лишь к таким И., «полная форма» к-рых при соединении с др. формами не образует новой формы, т. е. нового И. Так, из деревьев можно построить дом, но найти форму, соединяющую 2 людей (т. е. две человеческие личности) в одну индивидуальную вещь невозможно (см.: Nielsen. |
| Вплоть до XX века математика продолжала свой победный марш, предоставляя физике необходимые ей методы (как мы видели, большая часть этих методов по рационально необъяснимой прозорливости готовилась заранее, а часть создавали по горячим следам по заказу физиков). С появлением в математике все более и более сложных и абстрактных понятий и при все более повышающемся критерии строгости, в математике накапливались внутренние проблемы, устранением которых занялся великий Давид Гильберт со своей школой. Как мы уже писали в нашей беседе о схоластике, Гильберт ставил перед собой грандиозную задачу – выстроить всю математику, а за ней и всю науку по аксиоматическому методу: небольшое число аксиом плюс вывод теорем путем строгих логических операций. Поскольку строгие логические операции – вещь формальная и их может делать и машина, то Гильберт думал о математической машине, которая в заданной системе аксиом будет выводить все существующие в ней теоремы. Что же получилось из этого? А ничего, потому что, как мы уже писали об этом, в 1931 году австрийский математик Курт Гедель двумя своими теоремами не только разрушил до основания идею Гильберта, но и сделал царицу наук – математику – предметом веры. Теперь, если быть честным, учитель математики каждый свой урок должен заканчивать так: «А теперь помолимся, ребята, чтобы используемая нами система аксиом оказалась непротиворечивой, и все, что я вам сегодня рассказал, оказалось правильным». Дорогой читатель, дочитав до этого места, не подумай, что автор потерял рассудок и живет отныне в «желтом» доме. Просто автор говорит о том, что люди высокоученые считают ненужным говорить людям не столь высокоученым. Им они будут говорить о том, какие успехи делает математика и как она бодро (мы все это видим, НТП на дворе) в содружестве с физикой и другими науками преображает мир. Прежде чем списать автора в «желтый» дом, сначала поймай какого-нибудь знающего математика и спроси его, слегка потряхивая: «Нужно ли читать такую молитву после каждого урока математики?!» И так как ученые, обычно, люди честные, он со скорбью во взоре ответит: «Нужно…» А все компьютеры, мобильники и прочие достижения НТП получаются потому, что милостивый Господь незаметно ведет нас по пути непротиворечивой математики, хотя сами от ложного мы его отличить не можем. |
| В 59-й школе был знаменитый на всю Москву преподаватель математики Иван Васильевич Морозкин ( прим. ред. см. рассказ о нем и фотографии в книге Д.Б. Зимина ). Он был, с одной стороны, очень суровым преподавателем, с другой, невероятно сильно умел развить в своих учениках творческое начало. Он мог сказать, что за такой-то вопрос поставит две пятерки сразу, а пятерка у него была очень ценна, и мог при этом дать вопрос, в котором ученик не мог понять, не прикладывая определенных усилий, даже саму постановку задачи. Вопрос, который он задал, когда я был в 5-ом классе, относился к дробям, о которых ученикам в то время еще ничего не рассказывали. А форму имел стихотворения, переведенного, по-видимому, с индийского, в давние времена, когда и русский язык был немного другим. Эту самую стихотворную задачу без каких-нибудь комментариев он продиктовал нашему классу, и я ходил по окрестным дворам и ее обдумывал. Я хорошо помню, как постепенно ко мне приходило решение. Собственно говоря, я научился вычислять с дробями, никогда раньше о них не слыша. У вас была специальная физико-математическая школа? Нет, тогда не было специальных школ вообще. Но это была одна из самых знаменитых школ в Москве. Иван Васильевич ( прим. на сайте 59 школы ошибочно написано Владимирович ) любил рассказывать об учениках предыдущего поколения, о тех, кто только что закончил 10-й класс. Перед тем как И.В. взял наш 5 класс, его выпускником был Владимир Игоревич Арнольд. И И.В. говорил: вот здесь у доски стоял В. Арнольд и решал такую-то задачу. Арнольд тогда уже был известным математиком или Морозкин видел в нем большие способности? Во-первых, он умел видеть способности в своих учениках и фантастически умел их развивать. Во-вторых, когда я был в 8-м классе, Арнольд был уже на 3-м курсе МГУ и уже тогда решил 13-ю проблему Гильберта. Я помню, как он совсем юный приходил к нам в школу и беседовал с Иваном Васильевичем. И тот показывал нам его оттиск из Докладов Академии Наук (ДАН) и говорил, что студент 3-его курса решил проблему Гильберта, и за это ему следует дать докторскую степень. |
| Давайте рассмотрим только один пример: знаменитое интеллектуальное детище Давида Гильберта, называемое «Отелем Гильберта» 46 . В качестве разминки давайте сначала представим себе отель с конечным количеством номеров. Предположим, к тому же, что все номера заняты. Когда прибывает новый гость и просит номер, владелец, оправдываясь, говорит: «Извините, но все номера заняты», и на этом история заканчивается. Однако представим теперь отель с бесконечным количеством номеров и еще раз предположим, что все номера заняты. Нет ни одного свободного номера во всем бесконечном отеле. Теперь, предположим, появляется новый гость и просит номер. «Ну конечно!» – говорит владелец и немедленно перемещает постояльца из номера 1 в номер 2, постояльца из номера 2 в номер 3, постояльца из номера 3 в номер 4 и так далее до бесконечности. В результате этих перемещений номер 1 теперь освобождается, и новый гость с благодарностью заселяется. Однако вспомните, что до того, как он прибыл, все номера были заняты! Не менее любопытно, что теперь в отеле постояльцев не больше, чем было прежде: количество просто бесконечно. Но как же это может быть? Владелец только что добавил имя нового постояльца в журнал и дал ему ключи – как может в отеле не стать на одного постояльца больше, чем прежде? Однако ситуация становится даже еще более странной. Предположим, бесконечно много новых гостей появляется у конторки портье и каждый просит номер. «Конечно, конечно!» – говорит владелец и принимается перемещать постояльца из номера 1 в номер 2, постояльца из номера 2 и номер 4, постояльца из номера 3 в номер 6 и так далее до бесконечности, всегда помещая каждого жильца в комнату с номером, который вдвое больше номера комнаты, где этот жилец жил раньше. Поскольку любое натуральное число, умноженное на два, всегда равняется четному числу, все постояльцы помещаются в комнатах с четными номерами. В результате все комнаты с нечетными номерами освобождаются, и бесконечное множество гостей легко расселяются. И все же до их прибытия все номера были заняты! А кроме того, как ни странно, количество гостей в отеле после заселения бесконечно многих новых гостей то же, что и прежде, даже если новых гостей было столько же, сколько и старых постояльцев. В действительности владелец мог бы повторять этот процесс бесконечно много раз, и все же в отеле не стало бы ни на одного постояльца больше, чем прежде. |
| 29–30) 41 . Именно за это парадоксальное понятие ухватился Дедекинд, давая определение бесконечности: система называется бесконечной, если часть этой системы можно привести во взаимно однозначное соответствие с целым (Dedekind 1963, р. 63). Согласно Дедекинду, евклидов принцип, согласно которому целое больше части, справедлив только для конечных систем. Однако, несомненно, именно Кантор добился для актуальной бесконечности статуса математически легитимной идеи, которым она пользуется сегодня. Кантор назвал потенциально бесконечное «переменным конечным» и приписал ему символ ∞ (называемый лемнискатой); это значило, что это «несобственно бесконечное» (Кантор 1985, сс. 64–65). Актуальную бесконечность он объявил «истинной бесконечностью» и присвоил ей символ (алеф-нуль). Он обозначает количество всех чисел в ряду 1, 2, 3, ... и является первым бесконечным, или трансфинитным, числом, идущим после всех конечных чисел. Согласно Кантору, совокупность, или множество, бесконечно, когда ее часть эквивалентна целому (Кантор 1985, стр. 186). Используя это понятие актуальной бесконечности, Кантор смог разработать целостную систему трансфинитной арифметики. «Она [теория трансфинитных чисел Кантора] представляется мне наиболее заслуживающим удивления цветком математического духа и вообще одним из высших достижений чисто умственной деятельности человека, – воскликнул великий немецкий математик Давид Гильберт. – Никто не сможет изгнать нас из рая, который создал нам Кантор» (Гильберт 1948, стр. 346, 350). К сожалению, вскоре было обнаружено, что канторово понятие множества как любой логической совокупности порождает различные противоречия, или антиномии наивной теории множеств, которые грозили разрушить всю ее структуру. В результате большинство математиков отказались от определения общего понятия множества и вместо этого выбрали аксиоматический подход к теории множеств, посредством которого система строится на нескольких неопределенных понятиях, заданных с помощью сформулированных аксиом. |
| Следовательно, несущественно, имела ли временная последовательность начальную точку (первый временной момент). Вопрос в том, было ли в прошлом событие, занимавшее ненулевой, конечный временной интервал, который был абсолютно первым, т. е. которому не предшествовал никакой равный ему интервал 43 . Принимая во внимания эти разъяснения, давайте обратимся к рассмотрению двух посылок аргумента. 2.11. Существование актуальной бесконечности Посылка (2.11) гласит, что актуальная бесконечность не может существовать в реальном мире. Часто утверждается, что заявление этого типа было опровергнуто работой Кантора об актуальной бесконечности и последующим развитием теории множеств, которая обеспечивает убедительное доказательство существования актуальных бесконечностей. Однако это утверждение слишком поспешное. Оно отбрасывает без обсуждения не только отказ некоторых математиков (как например интуиционистов) признать математическую легитимность актуальной бесконечности, но и, что серьезнее, вообще антиплатонический взгляд на математические объекты. Это все разные вопросы, которые слишком часто смешивают современные критики данного аргумента (Sobel 2004, рр. 181–189,198–199; Орру 2006а, рр. 291–293; ср. Craig 2008). Большинство неплатоников не дошли бы до крайнего интуиционизма, отказывающего актуальной бесконечности в математической легитимности, – отсюда вызывающее заявление Гильберта «Никто не сможет изгнать нас из рая, который создал нам Кантор» (Гильберт 1948, стр. 350), – скорее, они просто настаивали бы на том, что признание математической легитимности некоторых понятий не предполагает онтологического обязательства принимать реальность различных объектов. Таким образом, по мнению Гильберта, «бесконечное нигде не реализуется. Его нет в природе, и оно недопустимо как основа нашего разумного мышления... Роль, которая остается бесконечному, это только роль идеи» (Гильберт 1948, стр. 364). Систему Кантора и аксиоматизированную теорию множеств можно взять просто за область рассуждения, математическую систему, основанную на определенных принятых аксиомах и соглашениях, что не влечет никаких онтологических обязательств. |
| Рассмотрим Отель Гильберта. Собел говорит, что трудности, связанные с таким отелем, носят практический и физический характер; «они обнаруживают физическую невозможность этой особой бесконечности существующих одновременно реальных вещей, а не ее логическую невозможность» (Sobel 2004, р. 187). Но утверждение состоит не в том, что такой отель невозможен логически, а в том, что он невозможен метафизически. Как наглядное воплощение трансфинитной арифметики, основанной на аксиоматической теории множеств, Отель Гильберта по необходимости является так же логически непротиворечивым, как эта система; иначе он был бы непригоден в качестве иллюстрации. Однако он также наглядно иллюстрирует абсурдные ситуации, к которым может привести действительное существование бесконечного множества. Эта абсурдность не только практическая и физическая; онтологически абсурдно, что существует отель, который совершенно полон и, тем не менее, может вместить неисчислимые бесконечности новых гостей просто за счет перемещения людей по отелю. Оппи готов, если будет надо, просто мужественно примириться с суровой необходимостью: «В конце концов, может существовать отель, в котором бесконечно много постояльцев устраиваются, даже если все номера заняты, при помощи простого приема перемещения постояльцев из номера Ν в номер 2Ν (для всех Ν)» (Орру 2006а, р. 53). Такое утверждение нисколько не облегчает чьих-либо сомнений, не абсурден ли такой отель. Сказал ли бы Оппи что-нибудь подобное о том, что случится, когда уедет бесконечное количество постояльцев? 48 В трансфинитной арифметике обратные операции вычитания и деления с бесконечно большими величинами запрещены, потому что они ведут к противоречиям; как говорит Собел: «Конечно, между тем как операции и свойства распространяются от конечных на трансфинитные кардинальные числа, некоторые арифметические принципы остаются ограниченными конечным» (Sobel 2007). Но в действительности нельзя удержать людей от выселения из отеля, если они этого желают! В этом случае дело действительно кончается логически невозможными ситуациями, такими как вычитание одного и того же из одного и того же, дающее в результате не одно и то же 49 . |
| Вводя понятие абсолютной формы esse, божественного quo est тварных сущих, Майстер Экхарт примыкает к традиции платонизирующего аристотелизма, представленной Боэцием 1356 , развитой Гильбертом Порретанским и обогащенной, начиная с середины XII в., идеями Авиценны 1357 . Мы вправе задаться вопросом, не пытался ли тюрингский доминиканец различать в Боге, как это делал Гильберт, абстрактный предикат, или forma qua est Deus [форму, через которую существует Бог], и конкретный субъект, то есть божественное quod est. Латинские труды Экхарта не позволяют ответить на этот вопрос утвердительно. Напротив, мы видим, что он вслед за Моисеем Маймонидом решительно настаивает на абсолютном тождестве сущности-субъекта с esse-npeдukamoм, или формой, в этой божественной «Достаточности», не приемлющей никакого различия 1358 . Субъект высказывания, отличный от предиката, никогда не бывает совершенным: «Imperfectionem habet enim subiectum iuxta nomen suum imperfectum, sicut materia» [«Субъект, например, материя, согласно своему несовершенному имени характеризуется несовершенством»] 1359 . Напротив, предикат всегда выступает формальным дополнением – «semper se habet ut forma», – от которого субъект принимает собственное совершенство. В учении о бытии quod est становится у Экхарта эквивалентом «нищей» (mendica, egena) сущности, которая не самодостаточна для того, чтобы реально быть, но зависит «от иного» (eget alio), в то время как quo est получает смысл божественной Формы. Именно это Esse, взятое в абсолютном смысле, Гильберт Порретанский отличал от esse aliquid [бытия чем-то] твари в боэциевском id quod est: отличал для того, чтобы не изолировать его вовсе от Бога 1360 . Та же забота свойственна и Майстеру Экхарту, который стремится сохранить «непосредственность» Бога и «неразличность» ipsum esse, принятого творениями. Но логические схемы Порретанца обретают у тюрингского доминиканца метафизическую плоть: esse aliquid становится субстанциальной формой, началом определенного hoc esse, коим тварные вещи обладают сами по себе, в собственных природах. Тварное id quod est Боэция и Гильберта становится конкретным субъектом, субстанцией. Имя ens подобает ей по аналогии, в той мере, в какой она причастна абсолютной форме Esse, атрибуируемой Богу – единственному Ens в собственном смысле 1361 . |
|
|
